Funções Trigonométricas

As funções trigonométricas, também chamadas de funções circulares, estão relacionadas com as demais voltas no ciclo trigonométrico.

As principais funções trigonométricas são:

·         Função Seno

·         Função Cosseno

·         Função Tangente

No círculo trigonométrico temos que cada número real está associado a um ponto da circunferência

Funções Periódicas

As funções periódicas são funções que possuem um comportamento periódico. Ou seja, que ocorrem em determinados intervalos de tempo.

O período corresponde ao menor intervalo de tempo em que acontece a repetição de determinado fenômeno.

Uma função f: A → B é periódica se existir um número real positivo p tal que

f(x) = f (x+p), ∀ x ∈ A

O menor valor positivo de p é chamado de período de f.

Note que as funções trigonométricas são exemplos de funções periódicas visto que apresentam certos fenômenos periódicos.

Função Seno

A função seno é uma função periódica e seu período é 2π. Ela é expressa por:

função f(x) = sen x

No círculo trigonométrico, o sinal da função seno é positivo quando x pertence ao primeiro e segundo quadrantes. Já no terceiro e quarto quadrantes, o sinal é negativo

Além disso, no primeiro e quarto quadrantes a função f é crescente. Já no segundo e terceiro quadrantes a função f é decrescente.

O domínio e o contradomínio da função seno são iguais a R. Ou seja, ela está definida para todos os valores reais: Dom(sen)=R.

Já o conjunto da imagem da função seno corresponde ao intervalo real [-1, 1]: -1 < sen x < 1.

Em relação à simetria, a função seno é uma função ímpar: sen(-x) = -sen(x).

O gráfico da função seno f(x) = sen x é uma curva chamada de senoide:

Função Cosseno

A função cosseno é uma função periódica e seu período é 2π. Ela é expressa por:

função f(x) = cos x

No círculo trigonométrico, o sinal da função cosseno é positivo quando x pertence ao primeiro e quarto quadrantes. Já no segundo e terceiro quadrantes, o sinal é negativo.

Além disso, no primeiro e segundo quadrantes a função f é decrescente. Já no terceiro e quarto quadrantes a função f é crescente.

O domínio e o contradomínio da função cosseno são iguais a R. Ou seja, ela está definida para todos os valores reais: Dom(cos)=R.

Já o conjunto da imagem da função cosseno corresponde ao intervalo real [-1, 1]: -1 < cos x < 1.

Em relação à simetria, a função cosseno é uma função par: cos(-x) = cos(x).

O gráfico da função cosseno f(x) = cos x é uma curva chamada de cossenoide:

Função Tangente

A função tangente é uma função periódica e seu período é π. Ela é expressa por:

função f(x) = tg x

No círculo trigonométrico, o sinal da função tangente é positivo quando x pertence ao primeiro e terceiro quadrantes. Já no segundo e quarto quadrantes, o sinal é negativo.

Além disso, a função f definida por f(x) = tg x é sempre crescente em todos os quadrantes do círculo trigonométrico.

O domínio da função tangente é: Dom(tan)={x ∈ R│x ≠ de π/2 + kπ; K ∈ Z}. Assim, não definimos tg x, se x = π/2 + kπ.

Já o conjunto da imagem da função tangente corresponde a R, ou seja, o conjunto dos números reais.

Em relação à simetria, a função tangente é uma função ímpar: tg(-x) = -tg(-x).

O gráfico da função tangente f(x) = tg x é uma curva chamada de tangentoide:

Cotangente

A co-tangente é a proporção entre o cateto adjacente a um determinado ângulo agudo de um triângulo retângulo e o cateto oposto a este mesmo ângulo. O valor desta proporção é fixa para cada valor dos ângulos agudos do triângulo retângulo.

Daí, a cotangente também pode ser vista como uma função, que relaciona cada um dos possíveis valores dos ângulos agudos do triângulo retângulo ao valor da cotangente destes ângulos. (O mesmo vale para as 5 outras possíveis relações ou proporções entre 2 dos 3 lados dos triângulos retângulos, que recebem os nomes de seno, cosseno, tangente, secante e cossecante. A trigonometria estuda, exatamente, o cálculo e o comportamento destas 6 proporções ou relações nos triângulos retângulos, cujos valores são sempre fixos para cada valor de um dos ângulos agudos do triângulo retângulo.)

A cotangente é o inverso da tangente,[1], que é a proporção entre o cateto oposto a um determinado ângulo agudo de um triângulo retângulo e o cateto adjacente a este mesmo ângulo. De fato : a/b é o inverso de b/a. A cotangente também é igual à razão (divisão) entre o co-seno e o seno, o que você poderá confirmar facilmente, substituindo a ambos por suas respectivas fórmulas (cada um deles também é uma divisão) e simplificando o formato desta divisão de duas divisões, eliminando o elemento comum a ambas, que é a hipotenusa do triângulo retângulo :

Existem várias funções trigonométricas, sendo as principais Seno, Co-seno, Tangente, Co-tangente, Secante e Co-secante; outras funções tem valor histórico, como a corda, usada por Cláudio Ptolomeu no Almagesto, que é equivalente ao seno da metade do ângulo, com o resultado convertido para graus, de forma que a corda de 60 graus fosse 60 graus.

Equações trigonométricas

As equações trigonométricas podem ser resolvidas quer no universo das amplitudes de ângulo (expressas em graus ou em radianos), quer no universo  quer em qualquer subconjunto dos anteriores.

Já em exemplos e exercícios deste livro resolvemos várias equações, de um modo geral, em intervalos limitados.

Vamos trabalhar, preferencialmente, em  mas o caminho a seguir vai ser idênticoao que usámos até aqui: recurso ao círculo trigonométrico e as simetrias e recurso a calculadora quando trabalhamos com valores aproximados.

Problema: Determinar as amplitudes de todos os ângulos cujo seno é.

Resolução: Pretende-se resolver a condiçao sen x = .

Como sen   entao x =  é uma soluçao da equaçao dada.

Mas esta nao é a unica solucao da equaçao, o que se pode confirmar recorrendo ao circulo trigonometrico.

X =   tambem e uma soluçao da equaçao sen

Como o seno tem por periodo positivo minimo , aequaçao sen x =  tem como soluçoes todos os ângulos que se podem obter a partir das expressões:

Sen x

Inequações Trigonométricas

Quando encontramos função trigonométrica da incógnita ou função trigonométrica de alguma função da incógnita em pelo menos um dos membros de uma inequação, dizemos que esta inequação é trigonométrica.

Exemplos:

 são inequações trigonométricas.

Resolver uma inequação como f(x) < g(x), por exemplo, significa determinar o conjunto S dos números s, sendo s elemento do domínio de f e de g, tais que f(s) < g(s).

O conjunto S é chamado de conjunto solução da inequação e todo elemento de S é uma solução da inequação.

Assim, na inequação  , os números  são algumas de suas soluções e os números   não o são.

 Resolução das Inequações Trigonométricas Fundamentais

Quase todas as inequações trigonométricas, quando convenientemente tratadas e transformadas, podem ser reduzidas a pelo menos uma das inequações fundamentais. Vamos conhecê-las, a seguir, através de exemplos.

1º caso : )